一法度衡石丈尺，車同軌，書同文字。
物理量與數(shù)學(xué)量最大的不同在于，物理量不僅僅是數(shù)字，它還有單位。描述物理量的單位就是某個基準，而描述物理量的數(shù)字就是該物理量與這個基準的比值，比如說，3米、5千克和9秒。即使角度這樣的“無量綱”量，也有單位，碰巧約掉了而已：單位長度的圓弧所對應(yīng)的圓心角就是1弧度，其單位就是“米/米”，所以就約掉了。
對物理這么課程不太熟悉的人，往往忽視了“物理量都有單位”的重要性，套公式的時候就會出現(xiàn)“驢唇不對馬嘴”的情況。檢驗公式兩端的單位是否相符，是發(fā)現(xiàn)錯誤的重要步驟。單位的換算就更不用說了，很多驚人的結(jié)論都是因為用錯了換算系數(shù)�，F(xiàn)在的大學(xué)普通物理教學(xué)都采用國際單位制（SI），力學(xué)中就是用千克、米、秒作為基本物理單位，以前的克、厘米、秒已經(jīng)用得不多了，更別說相關(guān)的導(dǎo)出單位了——比如說，你再也不用記住1牛頓等于$10^5$達因這樣的力學(xué)換算關(guān)系了。（$1N=1Kg \cdot m/s^2 =10^5 dyn$）
“物理量都有單位”，不僅可以用來檢驗公式的對錯，還可以用來分析物理問題，這就是所謂的量綱法（或者量綱分析）。找出物理問題所依賴的主要參量，把它們組合起來表示你感興趣的物理量，往往有助于理解和分析問題。
這么說有些太抽象，還是舉幾個例子吧。
量綱法可以猜想三角形的面積。三角形ABC的邊長為$a$、$b$、$c$，內(nèi)角為$\alpha$、$\beta$、$\gamma$。因為面積的單位為$m^2$，而長度的單位為$m$，那么就可以猜想三角形的面積為$S=a\cdot b \cdot f(\gamma)$（邊角邊）或者$S=a^2 \cdot f(\alpha，\beta)$（角邊角）。碰到了海倫公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ （其中，$p=(a+b+c)/2$），你也會知道，至少從量綱上來看，這個公式?jīng)]什么問題。
勾股定理太重要了，可是很多人都不會證明——某年高考就出了這樣的一道證明題，據(jù)說難倒了95%以上的考生。如果說勾股定理有一百種證明方法，那么量綱法就是第一百零一種。從直角三角形ABC的直角頂點向斜邊做垂線，這樣就得到了三個直角三角形，它們的斜邊邊長分別是ABC的三個邊長為$a$、$b$、$c$，兩個小三角形的面積正好等于大三角形的面積，所以，根據(jù)上面的角邊角公式，就可以得到，$a^2 \cdot f(\alpha，\beta)+b^2 \cdot f(\alpha，\beta)=c^2 \cdot f(\alpha，\beta)$ （其中，$\alpha+\beta=\pi/2$），約去公因數(shù)，就得到了勾股定理$a^2+b^2=c^2 $。
這些都是數(shù)學(xué)問題，再說幾個力學(xué)問題吧。浮力$F$是個力，單位為N，涉及到重力加速度$g$、液體的密度$\rho$和物體的體積$V$，這三個因素組成力的單位，只能是$(\rho \cdot V) \cdot g$，碰巧就是浮力的公式$F=\rho g V$。同樣的方法可以得到流體壓強的公式$P=\rho g h$。高空落物的速度$v$（單位為“米/秒”），涉及到的因素有重力加速度$g$（單位為“米/秒平方”）和高度$h$（單位為“米”），$gh$組合起來的單位正好是“米平方/秒平方”，所以，可以猜想$v=a\sqrt{gh}$。當(dāng)然，確定系數(shù)$a$等于$\sqrt{2}$這件事，量綱法是無能為力了。
這些例子都太簡單了，還是舉個單擺的例子吧。單擺的周期$T$（單位為“秒”），依賴于重力加速度$g$（單位為“米/秒平方”）和單擺的長度$L$（單位為“米”），也許還依賴于擺錘的質(zhì)量$m$（單位為“千克”）、最大擺動角度$\theta$（單位為“1”，也就是無量綱）和單擺的總機械能$E$（單位為“焦耳”）。$L/g$組合起來的單位是“秒平方”，所以，可以猜想$T=a\sqrt{L/g}$——中學(xué)物理告訴我們，$a=2\pi$正好對應(yīng)著小角度擺動的單擺周期。對于角度$\theta$比較大的時候，我們可以猜想$a=2\pi(1+b\theta^2+c\theta^4+\cdots)$，沒有奇數(shù)冪的原因在于單擺無所謂左右。另一種考慮方式是猜想$a$依賴于能量，那么$E/mgl$是我們需要的無量綱量，$a=2\pi(1+d(E/mgl)+e(E/mgl)^2+\cdots)==2\pi(1+d\cos\theta+e \cos^2\theta+\cdots)$。顯然，這不過是前面那個式子的變種而已。
利用量綱法，還可以求解細桿的轉(zhuǎn)動慣量、水波的性質(zhì)、圓棒彎曲時的應(yīng)力分布，乃至利用開普勒第三定律推斷萬有引力的性質(zhì)。這些還都是小兒科，展示量綱法威力有個最著名的例子：泰勒（G. I. Taylor）推斷了第一顆原子彈的爆炸威力。
原子彈爆炸時，瞬間釋放了大量的能量$E$，從而加熱了周圍的氣體，使之膨脹、形成了沖擊波（也就是巨大火球的邊界）。涉及到的參數(shù)有火球半徑$r$、時間$t$（爆炸時刻為時間零點）、空氣的密度$\rho$，還有氣體的定壓比熱和定容比熱（實際上只依賴于這兩者的比值$\gamma$）。做些排列組合，可以發(fā)現(xiàn)$E=mv^2=(\rho V)(r/t)^2=\rho r^5/t^2$（這里不是等式，只是為了演示量綱的傳遞），也就是說，$E=f(\gamma)\rho r^5/t^2$。美國軍方于1947年公布了原子彈爆炸后火球隨時間擴散的一系列照片，泰勒就利用這個公式，立刻推算出了原子彈的爆炸當(dāng)量——這是完全沒有公布的核心軍事機密!
上面這些例子不過是量綱分析的皮毛，只能讓你感受一下它的能力。不僅是力學(xué)，物理學(xué)的各個學(xué)科分支都會用到量綱分析，在流體力學(xué)中尤為突出，馬赫數(shù)、雷諾數(shù)、普朗特數(shù)，都是描述體系性質(zhì)的重要參數(shù)，這里就不詳細說明了。
關(guān)于量綱法的更加嚴格的分析和處理（比如說，其理論基礎(chǔ)“$\Pi$定理”的具體陳述和證明），請參閱趙凱華定性和半定量物理學(xué)的第二章“量綱分析和標度律”，或者談慶明量綱分析，他們還給出了很多的應(yīng)用例子。
（來源：網(wǎng)絡(luò)）力學(xué)教學(xué)筆記之量綱分析 |
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